Teoria dell'elasticità

Categoria: Costruzione di macchine. Scritto da Valerio Rossi Giovedì, 10 Febbraio 2011

La teoria dell'elasticità è una branca della scienza che studia la deformazione dei corpi solidi e il loro stato tensionale interno quando sono soggetti a carichi esterni. Il primo passo è la determinazione dello stato tensionale interno di un corpo.

Le tensioni interne ad un corpo continuo rappresentano le forze di contatto esercitate tra le parti interne al corpo stesso ed è una proprietà puntuale che dipende dalla normale alla superficie che si sta considerando. Considerando il postulato di Eulero secondo il quale "se un corpo è in equilibrio ogni sua parte deve essere in equilibrio" la tensione $t$ lungo una giacitura $n$ si rappresenta in termini matematici come:

$t(n)=[T]*n=[[\sigma_{xxx} ,\sigma_{xy} ,\sigma_{xz}],[ \sigma_{yx}, \sigma_{yy}, \sigma_{yz}],[ \sigma_{zx}, \sigma_{zy}, \sigma_{zz}]]*n$

dove $[T]$ rappresenta il tensore delle tensioni di Cauchy. L'equilibrio interno del corpo soggetto a delle forze di volume $F={X,Y,Z}$ si esprimere con le equazioni di equilibrio:

$\{ ({\partial \sigma_{xxx}}/{partial x}+{\partial \sigma_{xy}}/{partial y}+{\partial \sigma_{xz}}/{partial z}+X=0),({\partial \sigma_{yx}}/{partial x}+{\partial \sigma_{yy}}/{partial y}+{\partial \sigma_{yz}}/{partial z}+Y=0),({\partial \sigma_{zx}}/{partial x}+{\partial \sigma_{zy}}/{partial y}+{\partial \sigma_{zz}}/{partial z}+Z=0):}$

dove sono stati trascurati i moti rigidi del corpo.

Successivamente si determinano le deformazioni che si manifestano in un corpo continuo, dove con deformazione si intende un qualsiasi cambiamento della forma e della dimensione del corpo trascurando i moti rigidi di spostamento. Ipotizzando quindi una funzione spostamento $S={u,v,w}$ continua nel dominio, con derivata prima continua, monodroma e con inversa monotona localmente in senso stretto is ottiene:

$[D]=[[{\partial u}/{partial x}, {1/2}*({\partial u}/{partial y}+{\partial v}/{partial x}), {1/2}*({\partial u}/{partial z}+{\partial w}/{partial x})],[ {1/2}*({\partial u}/{partial y}+{\partial v}/{partial x}), {\partial v}/{partial y} ,{1/2}*({\partial v}/{partial z}+{\partial w}/{partial y})],[ {1/2}*({\partial u}/{partial z}+{\partial w}/{partial x}), {1/2}*({\partial v}/{partial z}+{\partial w}/{partial y}), {\partial w}/{partial z}]]$

che possiamo anche esprimere come:

$[D]=[[\epsilon_x, 1/2*\gamma_{xy}, 1/2*\gamma_{xz}],[ 1/2*\gamma_{yx} ,\epsilon_y ,1/2*\gamma_{yz}],[ 1/2*\gamma_{zx} ,1/2*\gamma_{zy}, \epsilon_z]]$

dove gli $\epsilon$ rappresentano delle dilatazioni lineari mentre i $\gamma$ sono degli scorrimenti angolari. Tali spostamenti devono assicurare in ogni caso la continuità del corpo in esame e non devono quindi comparire lacerazioni od esserci compenetrazioni di materia nel corpo, in termini matematici le deformazioni devono soddisfare le equazioni di congruenza:

$\{({partial^2 \epsilon_{xxx}}/{\partial y^2}+{partial^2 \epsilon_{yy}}/{\partial x^2}={partial^2 \epsilon_{xy}}/{\partial x \partial y}),({partial^2 \epsilon_{yy}}/{\partial z^2}+{partial^2 \epsilon_{zz}}/{\partial y^2}={partial^2 \epsilon_{yz}}/{\partial y \partial z}),({partial^2 \epsilon_{zz}}/{\partial x^2}+{partial^2 \epsilon_{xxx}}/{\partial z^2}={partial^2 \epsilon_{zx}}/{\partial z \partial x}),(\partial/{\partial x}*[{\partial \epsilon_{xy}}/{\partial z}-{\partial \epsilon_{yz}}/{\partial x}+{\partial \epsilon_{zx}}/{\partial y}]=2*{\partial^2 \epsilon_{xxx}}/{\partial y \partial z}),(\partial/{\partial y}*[{\partial \epsilon_{yz}}/{\partial x}-{\partial \epsilon_{zx}}/{\partial y}+{\partial \epsilon_{xy}}/{\partial z}]=2*{\partial^2 \epsilon_{yy}}/{\partial z \partial x}),(\partial/{\partial z}*[{\partial \epsilon_{zx}}/{\partial y}-{\partial \epsilon_{xy}}/{\partial z}+{\partial \epsilon_{yz}}/{\partial x}]=2*{\partial^2 \epsilon_{zz}}/{\partial x \partial y}):}$

che in forma compatta possiamo riassumere come:

$\vec \nabla x (\vec \nabla x D)$

Il legame costitutivo permette poi di collegare sforzi e deformazioni tramite le equazioni di Navier:

$\{ (\epsilon_{xxx}=1/E*[\sigma_{xxx}-\nu(\sigma_{yy}+\sigma_{zz})]+\alpha*T),(\epsilon_{yy}=1/E*[\sigma_{yy}-\nu(\sigma_{xxx}+\sigma_{zz})]+\alpha*T),(\epsilon_{zz}=1/E*[\sigma_{zz}-\nu(\sigma_{xxx}+\sigma_{yy})]+\alpha*T),(\epsilon_{xy}=\sigma_{xy}/G),(\epsilon_{yz}=\sigma_{yz}/G),(\epsilon_{xz}=\sigma_{xz}/G):}$

dove E rappresenta il modulo di Young, $G=E/{2*(1+\nu)}$ il modulo tangenziale, $\nu$ il coefficiente di Poisson e $\alpha$ il coefficiente di dilatazione termico. A questo sistema di equazioni vanno aggiunte le condizioni al contorno sulla superficie esterna del corpo che si scrivono per gli sforzi:

$\{(p_1=\sigma_{xxx}*l+\sigma_{xy}*m+\sigma_{xz}*n),(p_2=\sigma_{yx}*l+\sigma_{yy}*m+\sigma_{yz}*n),(p_3=\sigma_{zx}*l+\sigma_{zy}*m+\sigma_{zz}*n):}$

dove le p sono le pressioni sul contorno esterno, (l,m,n) sono i coseni direttori della normale nel punto considerato. Mentre le condizioni al contorno per gli spostamenti sono:

$\{(\bar u_x=u_x),(\bar u_y=u_y),(\bar u_z=u_z):}$

Si è cosi impostato il problema dell'equilibrio elastico di un corpo continuo, definendo 15 funzioni delle coordinate x,y,z quali le 6 componenti degli sforzi e le 6 componenti delle deformazioni e le 3 componenti di spostamento; si ricorda che il tensore delle tensioni, come anche quello delle deformazioni, risulta essere simmetrico.

La risoluzione di questo problema può essere affrontata per via numerica o per via teorica sotto opportune semplificazioni.