Teoria dell'elasticità

La teoria dell'elasticità è una branca della scienza che studia la deformazione dei corpi solidi e il loro stato tensionale interno quando sono soggetti a carichi esterni. Il primo passo è la determinazione dello stato tensionale interno di un corpo.

finite element analysis

Le tensioni interne ad un corpo continuo rappresentano le forze di contatto esercitate tra le parti interne al corpo stesso ed è una proprietà puntuale che dipende dalla normale alla superficie che si sta considerando. Considerando il postulato di Eulero secondo il quale "se un corpo è in equilibrio ogni sua parte deve essere in equilibrio" la tensione $t$ lungo una giacitura $n$ si rappresenta in termini matematici come:

$t(n)=[T]*n=[[\sigma_{xxx} ,\sigma_{xy} ,\sigma_{xz}],[ \sigma_{yx}, \sigma_{yy}, \sigma_{yz}],[ \sigma_{zx}, \sigma_{zy}, \sigma_{zz}]]*n$

dove $[T]$ rappresenta il tensore delle tensioni di Cauchy. L'equilibrio interno del corpo soggetto a delle forze di volume $F={X,Y,Z}$ si esprimere con le equazioni di equilibrio:

$\{ ({\partial \sigma_{xxx}}/{partial x}+{\partial \sigma_{xy}}/{partial y}+{\partial \sigma_{xz}}/{partial z}+X=0),({\partial \sigma_{yx}}/{partial x}+{\partial \sigma_{yy}}/{partial y}+{\partial \sigma_{yz}}/{partial z}+Y=0),({\partial \sigma_{zx}}/{partial x}+{\partial \sigma_{zy}}/{partial y}+{\partial \sigma_{zz}}/{partial z}+Z=0):}$

dove sono stati trascurati i moti rigidi del corpo.

deformazione 2D

Successivamente si determinano le deformazioni che si manifestano in un corpo continuo, dove con deformazione si intende un qualsiasi cambiamento della forma e della dimensione del corpo trascurando i moti rigidi di spostamento. Ipotizzando quindi una funzione spostamento $S={u,v,w}$ continua nel dominio, con derivata prima continua, monodroma e con inversa monotona localmente in senso stretto is ottiene:

$[D]=[[{\partial u}/{partial x}, {1/2}*({\partial u}/{partial y}+{\partial v}/{partial x}), {1/2}*({\partial u}/{partial z}+{\partial w}/{partial x})],[ {1/2}*({\partial u}/{partial y}+{\partial v}/{partial x}), {\partial v}/{partial y} ,{1/2}*({\partial v}/{partial z}+{\partial w}/{partial y})],[ {1/2}*({\partial u}/{partial z}+{\partial w}/{partial x}), {1/2}*({\partial v}/{partial z}+{\partial w}/{partial y}), {\partial w}/{partial z}]]$

che possiamo anche esprimere come:

$[D]=[[\epsilon_x, 1/2*\gamma_{xy}, 1/2*\gamma_{xz}],[ 1/2*\gamma_{yx} ,\epsilon_y ,1/2*\gamma_{yz}],[ 1/2*\gamma_{zx} ,1/2*\gamma_{zy}, \epsilon_z]]$

dove gli $\epsilon$ rappresentano delle dilatazioni lineari mentre i $\gamma$ sono degli scorrimenti angolari. Tali spostamenti devono assicurare in ogni caso la continuità del corpo in esame e non devono quindi comparire lacerazioni od esserci compenetrazioni di materia nel corpo, in termini matematici le deformazioni devono soddisfare le equazioni di congruenza:

$\{({partial^2 \epsilon_{xxx}}/{\partial y^2}+{partial^2 \epsilon_{yy}}/{\partial x^2}={partial^2 \epsilon_{xy}}/{\partial x \partial y}),({partial^2 \epsilon_{yy}}/{\partial z^2}+{partial^2 \epsilon_{zz}}/{\partial y^2}={partial^2 \epsilon_{yz}}/{\partial y \partial z}),({partial^2 \epsilon_{zz}}/{\partial x^2}+{partial^2 \epsilon_{xxx}}/{\partial z^2}={partial^2 \epsilon_{zx}}/{\partial z \partial x}),(\partial/{\partial x}*[{\partial \epsilon_{xy}}/{\partial z}-{\partial \epsilon_{yz}}/{\partial x}+{\partial \epsilon_{zx}}/{\partial y}]=2*{\partial^2 \epsilon_{xxx}}/{\partial y \partial z}),(\partial/{\partial y}*[{\partial \epsilon_{yz}}/{\partial x}-{\partial \epsilon_{zx}}/{\partial y}+{\partial \epsilon_{xy}}/{\partial z}]=2*{\partial^2 \epsilon_{yy}}/{\partial z \partial x}),(\partial/{\partial z}*[{\partial \epsilon_{zx}}/{\partial y}-{\partial \epsilon_{xy}}/{\partial z}+{\partial \epsilon_{yz}}/{\partial x}]=2*{\partial^2 \epsilon_{zz}}/{\partial x \partial y}):}$

che in forma compatta possiamo riassumere come:

diagramma stress strain

$\vec \nabla x (\vec \nabla x D)$

Il legame costitutivo permette poi di collegare sforzi e deformazioni tramite le equazioni di Navier:

$\{ (\epsilon_{xxx}=1/E*[\sigma_{xxx}-\nu(\sigma_{yy}+\sigma_{zz})]+\alpha*T),(\epsilon_{yy}=1/E*[\sigma_{yy}-\nu(\sigma_{xxx}+\sigma_{zz})]+\alpha*T),(\epsilon_{zz}=1/E*[\sigma_{zz}-\nu(\sigma_{xxx}+\sigma_{yy})]+\alpha*T),(\epsilon_{xy}=\sigma_{xy}/G),(\epsilon_{yz}=\sigma_{yz}/G),(\epsilon_{xz}=\sigma_{xz}/G):}$

dove E rappresenta il modulo di Young, $G=E/{2*(1+\nu)}$ il modulo tangenziale, $\nu$ il coefficiente di Poisson e $\alpha$ il coefficiente di dilatazione termico. A questo sistema di equazioni vanno aggiunte le condizioni al contorno sulla superficie esterna del corpo che si scrivono per gli sforzi:

$\{(p_1=\sigma_{xxx}*l+\sigma_{xy}*m+\sigma_{xz}*n),(p_2=\sigma_{yx}*l+\sigma_{yy}*m+\sigma_{yz}*n),(p_3=\sigma_{zx}*l+\sigma_{zy}*m+\sigma_{zz}*n):}$

dove le p sono le pressioni sul contorno esterno, (l,m,n) sono i coseni direttori della normale nel punto considerato. Mentre le condizioni al contorno per gli spostamenti sono:

$\{(\bar u_x=u_x),(\bar u_y=u_y),(\bar u_z=u_z):}$

Si è cosi impostato il problema dell'equilibrio elastico di un corpo continuo, definendo 15 funzioni delle coordinate x,y,z quali le 6 componenti degli sforzi e le 6 componenti delle deformazioni e le 3 componenti di spostamento; si ricorda che il tensore delle tensioni, come anche quello delle deformazioni, risulta essere simmetrico.

paletta di una turbina

La risoluzione di questo problema può essere affrontata per via numerica o per via teorica sotto opportune semplificazioni.

Valerio Rossi

Valerio RossiSono Valerio Rossi e sono l'Amministratore di MeccanicaWeb.it

Sono laureato triennale con voto 110 e lode in ingegneria meccanica presso l'Università di Roma Tor Vergata e sono attualmente studente in ingegneria meccanica magistrale. La mia tesi di laurea triennale è visibile su MeccanicaWeb.it Monitoraggio del comfort vibrazionale secondo la ISO 2631: progetto e realizzazione di un dispositivo low cost con impostazione e validazione di un modello predittivo.

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