Equazione generale della conduzione

Scritto da Valerio Rossi Domenica 01 Febbraio 2009

L'equazione generale della conduzione è l'applicazione dell'equazione costitutiva di Fourier ad un volume di controllo, con ipotesi molto meno restrittive.

Infatti scrivendo il I° principio della termodinamica per sistemi chiusi abbiamo:

$dQ-dL=dU-dE_c-dE_p$

trascuriamo i termini dovuti all'energia potenziale e cinetica e ipotizziamo che non avvengano scambi di lavoro, l'equazione si riduce a:

$M*dq=M*du$

Dividendo per il tempo,esplicitando la massa del volume infinitesimo di materiale, e ipotizzando che non ci siano variazioni di

volume arriviamo a:

$(rho*dx*dy*dz)*c_v*(delT)/(delt)=dot (q_x) + dot(q_g)*(dx*dy*dz)-dot(q_(x+dx))$

Dove il primo termine a secondo membro è il calore che entra nel volume di controllo, il secondo termine è il calore generato nel volume e l'ultimo è il calore uscente. Ora possiamo sostituire l'equazione costitutiva di Fourier $q=-*k*S*(dT)/(dx)$ ed arrivare a questa espressione:

$rho*c_v*(delT)/(delt)=del/(delx)*(k*(delT)/(delx))+del/(dely)*(k*(delT)/(dely))+del/(delz)*(k*(delT)/(delz))$

Se consideriamo $k$ costante allora $k/(rho*c_v)=alpha$ dove $alpha$ è la diffusività termica ed è rappresentativa della trasmissione del calore in regime non stazionari.