Il problema del metanodotto è noto in fisica classica per la sua validità generale, è lo studio di un condotto di sezione costante dove scorre un fluido considerato comprimibile. Infatti è una versione molto più generalizzata dell'equazione di Bernoulli.

Scrivendo il primo principio della termodinamica per sistemi aperti abbiamo:

$dh+dh_a+v*dp+g*dz+w*dw=0$

Le ipotesi per il problema del metanodotto sono:

• variazione dell'energia potenziale trascurabile
• attrito composto solo dall'aliquota distribuita e non da attriti localizzati
  
• densità variabile
  
• entalpia costante
  
• ipotesi di gas perfetto

Sotto tali ipotesi possiamo scrivere:

$((dh_a)/g)=lambda*(w^2*dx)/(2*g*D)$

dove $lambda$ è il coefficiente di attrito distribuito $w=G*v/S$ dove $w$ è la velocità assiale del fluido, $G$ la portata massica, $v$ il volume specifico e $S$ la sezione del condotto.

$v*dp=R*T*(drho)/rho$
dove $rho$ è la densità ed $R$ la costante universale dei gas perfetti. Ora possiamo riscivere l'equazione che, dopo alcuni passaggi algebrici, diventa:

$B*T*dx+p*dp-A*T*(dgamma)/(gamma)=0$

dove $A=(G/S)^2*R$ e $B=A*lambda/(2*D)$

Ora è possibile integrare l'equazione per diverse trasformazioni; se assumiamo il transito del fluido nel condotto come una trasformazione isoterma scriveremo:

$B*T*L+((p_2)^2-(p_1)^2)/2+A*T*log(gamma_2/gamma_1)=0

Se supponiamo la trasformazione adiabatica, quindi senza scambio di calore con l'esterno avremmo:

$B*L+(p_1)^alpha/(T_1*(2-alpha))*((p_2)^(2-alpha)-(p_1)^(2-alpha))-A/k*log(p_2/p_1)=0$

dove $alpha=(k-1)/k$ e $k=c_p/c_v$

Mentre se ipotizziamo uno scambio di calore regolato dalla seguente legge $T=T_0+C*e^(-alpha*x)$ allora l'espressione diventa:

$intA*(T=T_0+C*e^(-alpha*x))*dx+int(p*dp)+int(A*dT)=0$

Per discuterne insieme rimando al post sul forum "Il problema del metanodotto"