Il problema della parete

Cosa significa il problema della parete in fisica tecnica?

Con il problema della parete siu intende l'analisi della conduzione di calore in regime non stazionario all'interno di una parete con moto unidirezionale.

parete

In poche parole abbiamo un flusso di calore normale ad una certa superficie, la parete, ma con andamento variabile nel tempo, almeno nella prima parte della conduzione. Immaginate la parete di un camino, quando accendete il fuoco la parete inizia a scaldarsi con andamento variabile nel tempo fino a raggiungere una situazione stazionaria ossia una certa temperatura di equilibrio termodinamico.
Partiamo dall'equazione generale della conduzione di calore e cosideriamo la conduzione unidirezionale:

$rho*c_v*(delT)/(delt)=del/(delx)*(k*(delT)/(delx))$

Possiamo considerare la temperatura come prodotto di due termini, di cui uno funzione solo del tempo e l'altro solo dello spazio.

$T=theta(t)*X(x)$

Sostituendo l'espressione di T nella prima equazione arriviamo a:

$X(x)*(d(theta))/(dt)=alpha*theta(t)*(d^2X)/((dx)^2)=-lambda^2$

L'ultimo termine rappresenta una costante, infatti il primo ed il secondo terminedevono essere numericamente sempre uguali. Il segno meno deriva da considerazioni fisiche, se non lo aggiungessimo avremmo una relazione finale discordante con il fenomeno fisico che realmente si osserva.
Ora possiamo risolvere le due equazioni differenziali, la prima:

$(d(theta))/(dt)*1/theta=-alpha*lambda^2$

$theta(t)=c*e^(-alpha*lambda^2)$

Mentre la seconda:

$1/X*(d^2X)/(dx)=-lambda^2$

$X(x)=Asin(lambda*x)+Bcos(lambda*x)$

Unendo le due espressioni trovate abbiamo l'andamento della temperatura nella parete in funzione del tempo e dello spazio:

$T(t,x)=c*e^(-alpha*lambda^2)*(Asin(lambda*x)+Bcos(lambda*x))$

andamento temporale

E' da notare quanto detto precedentemente riguardo al segno meno, la caratteristica temporale del fenomeno va estinguendosi con l'aumentare del tempo, come accade nella realtà; se invece ci fosse stato un segno positivo avremmo avuto una temperatura che sarebbe aumentata all'infinito con l'avanzare del tempo...cosa poco credibile.
Ovviamente l'equazione và completata con le relative relazioni al contorno per determinare le costanti $A$ , $B$ , $C$.

Valerio Rossi

Valerio RossiSono Valerio Rossi e sono l'Amministratore di MeccanicaWeb.it

Sono laureato triennale con voto 110 e lode in ingegneria meccanica presso l'Università di Roma Tor Vergata e sono attualmente studente in ingegneria meccanica magistrale. La mia tesi di laurea triennale è visibile su MeccanicaWeb.it Monitoraggio del comfort vibrazionale secondo la ISO 2631: progetto e realizzazione di un dispositivo low cost con impostazione e validazione di un modello predittivo.

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