Il problema dell'aletta |
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| Fisica tecnica |
| Scritto da Administrator |
| Domenica 25 Gennaio 2009 18:55 |
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Consideriamo un'aletta rettangolare che poggia su una base ad una temperatura maggiore dell'aria circostante.
Considerando un tratto infinitesimo dell'aletta e facendo un bilancio termico avremmo: $q_x=q_c+q_(x+dx)$
Dove il primo termine è il calore dalla base verso l'estremità dell'aletta, il secondo termine è il calore dissipato per convezione e il terzo il calore trasmesso dal tratto $dx$ al resto dell'aletta. $-k*A*((dT)/(dx))_x=h*p*(T-T_e)-k*A*((dT)/(dx))_(x+dx)$
Introducendo la variabile $theta=T-T_e$ e con semplici passaggi otteniamo: $(k*S*((dT)/(dx))_(x+dx)-k*S*((dT)/(dx))_x)/(dx)=h*p*theta$
che diventa: $(d^2theta)/(dx^2)-m^2*theta=0$
dove $m^2=(h*p)/(k*S)$
$theta=A*e^(m*x)+B*e^(-m*x)$
1)Soluzione con aletta infinitamente lunga. Ovviamente per $x=0 ,T=T_0$ dove $T_0$ è la temperatura della base dell'aletta, mentre per $x=oo ,T=T_e$, e con semplici passaggi arriviamo all'espressione: $theta=theta_0*e^(-m*x) $
dove $theta_0=T_0-T_e$ Per valutare il calore disperso dall'aletta dovremmo calcolarci il calore che fluisce dalla base dell'aletta, quindi: $q_c=-k*S*((dT)/(dx))_(x=0)=k*S*m*theta_0=sqrt(h*p*k*S)*theta_0$
2)Soluzione con aletta isolata all'estremità. In questo caso la seconda condizione al contorno diventa $x=L , (-k*S*(dT)/(dx))=0$. Attraverso qualche passaggio matematico e ricordando la definizione di coseno e seno iperbolico $theta=theta_0*(cosh(m*(x-L)))/(cosh(m*L)$
$q_c=-k*S*((dT)/(dx))_(x=0)=theta_0*sqrt(k*S*h*p)*tgh(m*L)$
3)Soluzione con aletta finita. In questo caso la seconda condizione al contorno si trasforma in $x=L, (-k*S*(dT)/(dx))=h_e*S*(T_L-T_e)$, con rapidi passaggi arriviamo all'espressione generale: $theta=theta_0*(cosh(m*(x-L))+h_e/(m*k)*sinh(m*(x-L)))/(cosh(m*L)+h_e/(m*k)*sinh(m*L))$
$q_c=-k*S*((dT)/(dx))_(x=0)=theta_0*m*k*S*(h_e/(m*k)+tgh(m*L))/(1+h_e/(m*k)*tgh(m*L))$
Considerazione importanti possono riguardare la convenienza dell'aletta e l'efficienza dell'aletta. La prima risulta essere il rapporto tra il calore dissipato dall'aletta e quello dissipato dalla superficie senza aletta e risulta: $C=(h_e/(m*k)+tgh(m*L))/(h_e/(m*k)+(h_e/(m*k))^2*tgh(m*L))$
Possiamo vedere che se questa espressione risulta maggiore di 1 c'è convenienza nel mettere l'aletta; in particolare se $h_e/(m*k)$ è minore di 1. Per l'efficienza inceve dovremmo confrontare il flusso termico ceduto dall'aletta e il flusso termico che l'aletta scambierebbe se si trovasse tutta alla temperatura della base, quindi con un semplice rapporto arriviamo all'espressione: $Omega=tgh(m*L)/(m*L)$
Per discuterne insieme rimando al post sul forum "Il problema dell'aletta"
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