Il problema dell'aletta

Scritto da Valerio Rossi Domenica 25 Gennaio 2009

Consideriamo un'aletta rettangolare che poggia su una base ad una temperatura maggiore dell'aria circostante.
L'aletta ha una sezione $A$ con perimetro $p$, una conduttività termica $k$ e una lunghezza $L$, mentre il fluido circostante ha un coefficiente di scambio convettivo $h$ ed è ad una temperatura uniforme e costante $T_e$.

aletta di raffreddamento

Le ipotesi introdotte per tale trattazione sono:

temperatura della base dell'aletta e del fluido costanti

coefficiente $h$ e $k$ costanti

sezione e perimetro costanti

conduzione unidirezionale (lungo l'asse x dell'aletta)

Considerando un tratto infinitesimo dell'aletta e facendo un bilancio termico avremmo:

$q_x=q_c+q_(x+dx)$

Dove il primo termine è il calore dalla base verso l'estremità dell'aletta, il secondo termine è il calore dissipato per convezione e il terzo il calore trasmesso dal tratto $dx$ al resto dell'aletta.
Introducendo l'equazione costitutiva di Fourier per la conduzione unidirezionale, ossia $q=-k*A*(dT)/(dx)$, otteniamo:

$-k*A*((dT)/(dx))_x=h*p*(T-T_e)-k*A*((dT)/(dx))_(x+dx)$

Introducendo la variabile $theta=T-T_e$ e con semplici passaggi otteniamo:

$(k*S*((dT)/(dx))_(x+dx)-k*S*((dT)/(dx))_x)/(dx)=h*p*theta$

che diventa:

$(d^2theta)/(dx^2)-m^2*theta=0$

dove $m^2=(h*p)/(k*S)$

L'equazione differenziale del secondo ordine ha come soluzione generale:

$theta=A*e^(m*x)+B*e^(-m*x)$

Arrivati a questo punto ci sono tre possibili condizioni al contorno da imporre al problema per determinare le costanti A e B.

1)Soluzione con aletta infinitamente lunga.

Ovviamente per $x=0 ,T=T_0$ dove $T_0$ è la temperatura della base dell'aletta, mentre per $x=oo ,T=T_e$, e con semplici

passaggi arriviamo all'espressione:

$theta=theta_0*e^(-m*x) $

dove $theta_0=T_0-T_e$

Per valutare il calore disperso dall'aletta dovremmo calcolarci il calore che fluisce dalla base dell'aletta, quindi:

$q_c=-k*S*((dT)/(dx))_(x=0)=k*S*m*theta_0=sqrt(h*p*k*S)*theta_0$

2)Soluzione con aletta isolata all'estremità.

In questo caso la seconda condizione al contorno diventa $x=L , (-k*S*(dT)/(dx))=0$. Attraverso qualche passaggio matematico e

ricordando la definizione di coseno e seno iperbolico
$sinh(x)=(e^x-e^(-x))/2$ $cosh(x)=(e^x+e^(-x))/2$
arriviamo all'espressione:

$theta=theta_0*(cosh(m*(x-L)))/(cosh(m*L)$

Mentre il calore scambiato dall'aletta è:

$q_c=-k*S*((dT)/(dx))_(x=0)=theta_0*sqrt(k*S*h*p)*tgh(m*L)$

alette di raffreddamento di un processore

3)Soluzione con aletta finita.

In questo caso la seconda condizione al contorno si trasforma in $x=L, (-k*S*(dT)/(dx))=h_e*S*(T_L-T_e)$, con rapidi passaggi

arriviamo all'espressione generale:

$theta=theta_0*(cosh(m*(x-L))+h_e/(m*k)*sinh(m*(x-L)))/(cosh(m*L)+h_e/(m*k)*sinh(m*L))$

Il calore disperso dall'aletta risulta essere:

$q_c=-k*S*((dT)/(dx))_(x=0)=theta_0*m*k*S*(h_e/(m*k)+tgh(m*L))/(1+h_e/(m*k)*tgh(m*L))$

Considerazione importanti possono riguardare la convenienza dell'aletta e l'efficienza dell'aletta. La prima risulta essere il rapporto tra il calore dissipato dall'aletta e quello dissipato dalla superficie senza aletta e risulta:

$C=(h_e/(m*k)+tgh(m*L))/(h_e/(m*k)+(h_e/(m*k))^2*tgh(m*L))$

Possiamo vedere che se questa espressione risulta maggiore di 1 c'è convenienza nel mettere l'aletta; in particolare se $h_e/(m*k)$è minore di 1.

Per l'efficienza inceve dovremmo confrontare il flusso termico ceduto dall'aletta e il flusso termico che l'aletta scambierebbe se si trovasse tutta alla temperatura della base, quindi con un semplice rapporto arriviamo all'espressione:

$Omega=tgh(m*L)/(m*L)$