Parametri concentrati di sistemi composti

Con l'approssimazione dei parametri concentrati possiamo studiare la storia nel tempo della temperatura anche di sistemi complessi.

calore di un carbone ardente


Assumendo validi i parametri concentrati, consideriamo un recipiente contenente un fluido ad una temperatura $T_1$ lambito esternamente da un altro fluido a temperatura $T_(oo)$.
A questo punto possiamo impostare due bilanci termici tra i due fluidi interni ed esterni. Consideriamo innanzitutto il fluido interno:

$-(c*rho*V_1)_1*(dT_1)/(dt)=h_1*A_1*(T_1-T_2)$


Mentre per il recipiente avremmo:

$-(c*rho*V_2)_2*(dT_2)/(dt)=h_2*A_2*(T_2-T_(oo))-h_1*A_1*(T_1-T_2)$


Risolvendo le due equazioni differenziali si ottiene l'andamento nel tempo della temperatura per i due corpi, il fluido interno ed il recipiente. Riscrivendo entrambe le equazione abbiamo:

$(D+(h_1*A_1)/(c_1*rho_1*V_1))*T_1-(h_1*A_1)/(c_1*rho_1*V_1)*T_2=0$

$-(h_1*A_1)/(c_2*rho_2*V_2)*T_1+(D+(h_1*A_1+h_2*A_2)/(c_2*rho_2*V_2))*T_2=(h_2*A_2)/(c_2*rho_2*V_2)*T_(oo)$


dove il simbolo D indica la differenziazione rispetto al tempo.


Ponendo $K_1=(h_1*A_1)/(c_1*rho_1*V_1)$ , $K_2=(h_1*A_1)/(c_2*rho_2*V_2)$ , e $K_3=(h_2*A_2)/(c_2*rho_2*V_2)$ otteniamo:

$(D+K_1)*T_1-K_1*T_2=0$

$-K_2*T_1+(D+K_2+K_3)*T_2=K_3*T_(oo)$


Risolvendo a sistema arriviamo alla seguente equazione differenziale nell'incognita $T_1$ :

$(D^2+(K_1+K_2+K_3)*D+K_1*K_3)*T_1=K_1*K_3*T_(oo)$


l'integrale generale vale:

$T=T_(oo)+M*e^(m_1*t)+N*e^(m_2*t)$


dove $m_1=(-(K_1+K_2+K_3)+sqrt((K_1+K_2+K_3)^2-4*K_1*K_3))/2$

$m_2=(-(K_1+K_2+K_3)-sqrt((K_1+K_2+K_3)^2-4*K_1*K_3))/2$

Le costanti M ed N si determinano imponendo le condizioni al contorno, e la temperatura $T_2$ si trova sostituendo la $T_1$ in una delle equazioni del sistema precedente.

Valerio Rossi

Valerio RossiSono Valerio Rossi e sono l'Amministratore di MeccanicaWeb.it

Sono laureato triennale con voto 110 e lode in ingegneria meccanica presso l'Università di Roma Tor Vergata e sono attualmente studente in ingegneria meccanica magistrale. La mia tesi di laurea triennale è visibile su MeccanicaWeb.it Monitoraggio del comfort vibrazionale secondo la ISO 2631: progetto e realizzazione di un dispositivo low cost con impostazione e validazione di un modello predittivo.

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