Parametri concentrati di sistemi composti

Scritto da Valerio Rossi Martedì 03 Febbraio 2009

Con l'approssimazione dei parametri concentrati possiamo studiare la storia nel tempo della temperatura anche di sistemi complessi.

calore di un carbone ardente

Assumendo validi i parametri concentrati, consideriamo un recipiente contenente un fluido ad una temperatura $T_1$ lambito esternamente da un altro fluido a temperatura $T_(oo)$.
A questo punto possiamo impostare due bilanci termici tra i due fluidi interni ed esterni. Consideriamo innanzitutto il fluido interno:

$-(c*rho*V_1)_1*(dT_1)/(dt)=h_1*A_1*(T_1-T_2)$

Mentre per il recipiente avremmo:

$-(c*rho*V_2)_2*(dT_2)/(dt)=h_2*A_2*(T_2-T_(oo))-h_1*A_1*(T_1-T_2)$

Risolvendo le due equazioni differenziali si ottiene l'andamento nel tempo della temperatura per i due corpi, il fluido interno ed il recipiente. Riscrivendo entrambe le equazione abbiamo:

$(D+(h_1*A_1)/(c_1*rho_1*V_1))*T_1-(h_1*A_1)/(c_1*rho_1*V_1)*T_2=0$

$-(h_1*A_1)/(c_2*rho_2*V_2)*T_1+(D+(h_1*A_1+h_2*A_2)/(c_2*rho_2*V_2))*T_2=(h_2*A_2)/(c_2*rho_2*V_2)*T_(oo)$

dove il simbolo D indica la differenziazione rispetto al tempo.

Ponendo $K_1=(h_1*A_1)/(c_1*rho_1*V_1)$ , $K_2=(h_1*A_1)/(c_2*rho_2*V_2)$ , e $K_3=(h_2*A_2)/(c_2*rho_2*V_2)$ otteniamo:

$(D+K_1)*T_1-K_1*T_2=0$

$-K_2*T_1+(D+K_2+K_3)*T_2=K_3*T_(oo)$

Risolvendo a sistema arriviamo alla seguente equazione differenziale nell'incognita $T_1$ :

$(D^2+(K_1+K_2+K_3)*D+K_1*K_3)*T_1=K_1*K_3*T_(oo)$

l'integrale generale vale:

$T=T_(oo)+M*e^(m_1*t)+N*e^(m_2*t)$

dove $m_1=(-(K_1+K_2+K_3)+sqrt((K_1+K_2+K_3)^2-4*K_1*K_3))/2$

$m_2=(-(K_1+K_2+K_3)-sqrt((K_1+K_2+K_3)^2-4*K_1*K_3))/2$

Le costanti M ed N si determinano imponendo le condizioni al contorno, e la temperatura $T_2$ si trova sostituendo la $T_1$ in una delle equazioni del sistema precedente.