Piastra con generazione di calore

Scritto da Administrator

Lunedì 09 Febbraio 2009 21:23

Se abbiamo una piastra con generazione interna di calore come ci comportiamo?
Situazioni reali per cui si ricorre a questa trattazione sono moltissime basti pensare alle barre di plutonio nelle centrali nuclearie, alle barre di combustibile.

fuel-cell

Dobbiamo innanzitutto impostare un bilancio termico per una sezione della lastra considerando uno spessore infinitesimo $dx$ che andremo poi ad integrare.Quindi considerando la conduzione del calore unidirezionale e in regime stazionario abbiamo:

$q_x+q_g*S*dx=q_(x+dx)$

$(k*S*((dT)/(dx))_(x+dx)-K*S*((dT)/(dx))_x)/(S*dx)=-q_g$

Otteniamo quindi:

$(d^2T)/dx^2=-q_g/k$

Da questa relazione, che ci ricorda vagamente l'equazione generale della conduzione, possiamo integrare due volte per arrivare all'espressione della temperatura:

$(dT)/(dx)=-q_g*x/K+c_1$

$T(x)=-q_g*x^2/(2*K)+c_1*x+c_2$

Ora dovremmo solamente imporre delle condizioni al contorno per determinare correttamente la temperatura.
Ad esempio possiamo porre l'origine del nostro sistema di riferimento ad un estremo della lastra e considerare che sia per $x=0$ sia per $x=L$ avremmo $T=T_p$, dove $T_p$ è la temperatura di parete.

Con alcuni passaggi matematici arriviamo a questa relazione:

$T(x)=-q_g*x^2/(2*K)+q_g*L/k+T_p$

Potremmo anche impostare un altro bilancio termico con l'esterno per trovare la $T_p$, notando che il calore viene disperso dalle pareti per convezione, se ovviamente trascuriamo l'irraggiamento.

$q_(cond)=q_(convez)$

$-K*S*((dT)/(dx))_(x=0)=h_e*S*(T_p-T_oo)$

E quindi atteniamo, con le opportune sostituzioni:

$(T_p-T_oo)=q_g*L/h_e$

Per discuterne insieme rimando al post sul forum "Piastra con generazione di calore"