Piastra con generazione di calore

Scritto da Valerio Rossi Lunedì 09 Febbraio 2009

Se abbiamo una piastra con generazione interna di calore come ci comportiamo?
Situazioni reali per cui si ricorre a questa trattazione sono moltissime basti pensare alle barre di plutonio nelle centrali nuclearie, alle barre di combustibile.

fuel cell

Dobbiamo innanzitutto impostare un bilancio termico per una sezione della lastra considerando uno spessore infinitesimo $dx$ che andremo poi ad integrare.Quindi considerando la conduzione del calore unidirezionale e in regime stazionario abbiamo:

$q_x+q_g*S*dx=q_(x+dx)$

$(k*S*((dT)/(dx))_(x+dx)-K*S*((dT)/(dx))_x)/(S*dx)=-q_g$

Otteniamo quindi:

$(d^2T)/dx^2=-q_g/k$

Da questa relazione, che ci ricorda vagamente l'equazione generale della conduzione, possiamo integrare due volte per arrivare all'espressione della temperatura:

$(dT)/(dx)=-q_g*x/K+c_1$

$T(x)=-q_g*x^2/(2*K)+c_1*x+c_2$

Ora dovremmo solamente imporre delle condizioni al contorno per determinare correttamente la temperatura.
Ad esempio possiamo porre l'origine del nostro sistema di riferimento ad un estremo della lastra e considerare che sia per $x=0$ sia per $x=L$ avremmo $T=T_p$, dove $T_p$ è la temperatura di parete.

Con alcuni passaggi matematici arriviamo a questa relazione:

$T(x)=-q_g*x^2/(2*K)+q_g*L/k+T_p$

Potremmo anche impostare un altro bilancio termico con l'esterno per trovare la $T_p$, notando che il calore viene disperso dalle pareti per convezione, se ovviamente trascuriamo l'irraggiamento.

$q_(cond)=q_(convez)$

$-K*S*((dT)/(dx))_(x=0)=h_e*S*(T_p-T_oo)$

E quindi atteniamo, con le opportune sostituzioni:

$(T_p-T_oo)=q_g*L/h_e$