Piastra con generazione di calore

Pratico esempio di una piastra con generazione sono le barre di plutonio nelle centrali nucleari o le celle a combustibile di un’auto elettrica.

Dobbiamo innanzitutto impostare un bilancio termico per una sezione della lastra considerando uno spessore infinitesimo $dx$ che verrà poi integrata. Considerando la conduzione del calore unidirezionale e in regime stazionario abbiamo:

(1) $\begin{equation*}q_x+q_g S dx=q_{x+dx}\end{equation*}$

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{equation*}{k S\left(\frac{dT}{dx}\right)_{x+dx}-KS\left(\frac{dT}{dx}\right)_x=-q_gS dx\end{equation*}

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Otteniamo quindi:

(3) $\begin{equation*}\frac{d^2T}{dx^2}=\frac{-q_g}k\end{equation*}$

Da questa relazione, che ci ricorda vagamente l’equazione generale della conduzione, possiamo integrare due volte per arrivare all’espressione della temperatura:

(4) $\begin{equation*}\frac{dT}{dx}=\frac{-q_gx}{K}+c_1\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*}T(x)=\frac{-q_g x^2}{2K}+c_1 x+c_2\end{equation*}$

Ora dovremmo solamente imporre delle condizioni al contorno per determinare correttamente la temperatura.
Ad esempio possiamo porre l’origine del nostro sistema di riferimento ad un estremo della lastra e considerare che sia per $x=0$ sia per $x=L$ avremmo $T=T_p$ , dove $T_p$ è la temperatura di parete.

Con alcuni passaggi matematici arriviamo a questa relazione:

(6) $\begin{equation*}T(x)=\frac{-q_g x^2}{2K}+\frac{q_g L}{2k}x+T_p\end{equation*}$

Bilancio termico piastra con generazione calore

Potremmo anche impostare un altro bilancio termico con l’esterno per trovare la $T_p$ , notando che il calore viene disperso dalle pareti per convezione, se ovviamente trascuriamo l’irraggiamento.

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{equation*}q_{cond}=q_{convez}\begin{equation*}
\begin{equation*}-K S\left(\frac{dT}{dx}\right)_{x=0}=h_e S (T_p-T_\infty)\end{equation*}

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Bad math environment delimiter.
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E quindi atteniamo, con le opportune sostituzioni:

(8) $\begin{equation*}(T_p-T_\infty)=q_g L/h_e\end{equation*}$