Problema a parametri concentrati

Scritto da Valerio Rossi Martedì 03 Febbraio 2009

Cosa significa sistema a parametri concentrati?

Significa che possiamo considerare la temperatura di un corpo uniforme durante uno scambio di calore.

Ad esempio se consideriamo una sfera di rame che viene fuori da un un forno, questa si raffredderà per convezione con l'aria, ma la temperatura all'interno di tutta la sfera di rame la possiamo considerare uniforme spazialmente. Ovviamente tale approssimazione dipende dal materiale che stiamo considerando infatti, come la quotidianeità ci suggerisce, per un pezzo di carne non funziona, in quanto, se messo in un forno, la superficie esterna avrà una temperatura molto maggiore di quella interna.
Facciamo una schematizzazione, consideriamo un corpo a temperatura uniforme che viene lambito da un flusso di aria a temperatura maggiore, trascuriamo lo scambio termico per irraggiamento e impostiamo il seguente bilancio:

dove $h$ è il coefficiente di scambio termico convettivo, che consideriamo costante $A$ è la superficie del corpo $m$ la massa del corpo e $c_p$ il calore specifico a pressione costante $T_(oo)$ la temperatura del fluido considerata costante nel tempo. Ora potremmo con queste ipotesi potremmo scrivere:

che integrata tra il tempo zero e il tempo t diventa:

La temperatura del corpo aumenta uniformemente con il tempo fino a raggiungere asintoticamente la temperatura del fluido.
Per verificare la validità dell'approssimazione dei parametri concentrati possiamo considerare il numero di Biot:

dove $L_c$ è una lunghezza caratteristica del sistema pari a $L_c=V/A$, e $lambda$ la conducibilità termica del corpo.

Il numero di Biot rappresenta il rapporto tra la resistenza interna e la resistenza esterna, se tale rapporto è inferiore a 0.1 risulta accettabile l'assunzione del problema a parametri concentrati. Significa che la resistenza termica al calore all'interno del corpo è trascurabile rispetto alla resistenza che il corpo assume ripetto al calore esterno.