Forze conservative

Scritto da Valerio Rossi Venerdì, 17 Febbraio 2012

Le forze conservative sono le forze per le quali il lavoro compiuto non dipende dalla traiettoria seguita ma soltanto dalle posizioni iniziale e finale.

La forza conservativa è quindi quella forza che ammette energia potenziale ossia un'energia che dipende solamente dalla posizione della massa nello spazio. In particolare l'integrale circolare di una forza conservativa sarà identicamente nullo, un integrale in cui i punti iniziale e finale sono lo stesso, una traiettoria chiusa.

Tale definizione però non è operativa, cioè non permette di calcolare facilmente se una forza è conservativa o meno perchè dovremmo eseguire l'integrale del lavoro per qualsiasi traiettoria che connette due punti e verificare cosi che non dipenda dal percorso seguito. A questa definizione integrale ne segue allora una differenziale. Per una forza conservativa le componenti lungo gli assi coordinati cartesiani sono uguali alle derivate parziali, cambiate di segno, rispetto alle stesse variabili spaziali dell'energia potenziale:

$F_x=-{\del U}/{del x} \quad F_y=-{\del U}/{del y} \quad F_z=-{\del U}/{del z}$

introducendo quindi l'operatore differenziale nabla $\nabla$:

$F=-\nabla{U}$

Le due definizioni, integrale e differenziale, necessitano in ogni caso dell'energia potenziale. Eseguendo invece una derivazione mista della definizione differenziale possiamo rendere l'espressione indipendente da U. Ricordando infatti che le derivate parziali successive miste sono indipendenti dall'ordine di derivazione otteniamo:

${\del F_x}/{\del y}={\del F_y}/{\del x} \quad {\del F_x}/{\del z}={\del F_z}/{\del x} \quad {\del F_y}/{\del z}={\del F_z}/{\del y}$

Tale relazioni sono condizioni solamente necessarie in quanto per essere anche sufficienti occorre specificare che il campo su cui si integra la forma differenziale sia un intervallo aperto. Riportando l'ultima relazione in forma compatta ci serviamo dell'operatore differenziale rotore:

$rot F=\nabla x F=0$

una forza conservativa è irrotazionale.