Analisi alle differenze finite di una sfera cava con generazione di calore

Studio di una sfera cava con generazione interna di calore tramite una discretizzazione alle differenze finite delle equazioni che regolano il fenomeno fisico.

mesh sfera

Il problema in questione è analogo a quello di un cilindro con generazione di calore interna da cui differisce solamente per il diverso dominio fisico del corpo in esame. L'equazione da considerare è quella di Fourier sulla conduzione:

$\nabla^2T+q_g/k=1/\alpha*{ \partial T}/{\partial t}$

che viene poi semplificata attraverso le solite ipotesi:

  • condizioni stazionarie;
  • problema monodimensionale;
  • temperatura esterna costante;
  • proprietà termofisiche del problema costanti.

L'equazione espressa in coordinate cilindriche e semplificata con le precedenti ipotesi diventa:

${\partial}/{\partial r^2}(r^2* {\partial T}/{ \partial r})= -q_g/k *r$

Si considera una generazione interna di calore $q_g=5*10^6 W/m^3$, un coefficiente di scambio convettivo sulla superficie esterna $h=500 W/{m^2*K}$, una conducibilità termica $k=40 W/{m*K}$, una temperatura esterna $T_\infty=0 °C$, una temperatura sulla superificie interna della sfera $T_i=100 °C$, un raggio interno della sfera $R_i=2 cm$ ed un raggio esterno $R_e=7 cm$. Risolvendo l'equazione differenziale si ottiene:

$T(r)=-{q_g}/{6*k}*r^2-c_1/r +c_2$

dove $c_1$ e $c_2$ si determinano imponendo le condizioni al contorno. Per la soluzione numerica invece si procede utilizzando il metodo numerico delle differenze finite e scomponendo l'equazione differenziale con le differenze centralisi ottiene:

$(1+1/{R_i/{\Delta r}+i})*T_{i+1} - 2*T_i +(1-1/{R_i/{\Delta r}+i})*T_{i-1}=-q_g/k*\Delta r^2$

Le condizioni al contorno per la superificie interna sono di tipo Dirichelt e quindi esatte, mentre le condizioni convettive esterne vengono calcolate con un'approssimazione sia del primo che del secondo ordine per permettere un confronto delle due soluzioni. Il programma in Fortran dopo aver creato una griglia di calcolo, suddividendo il dominio fisico in tanti nodi, crea una sistema di equazioni che viene poi risolto tramite un algoritmo di Gauss lineare. In ogni grafico realizzato tramite il software di post-processing Matlab, vengono riportate rispettivamente la temperatura analitica, quella numerica con un'approssimazione delle condizioni al contorno del primo ordine e quella con un'approssimazione del secondo ordine. Nei grafici di seguito si riportano i risultati per una griglia di calcolo di 5 nodi (a sinistra) e per una griglia di calcolo di 30 nodi (a destra).

soluzione sfera con 5 nodisoluzione sfera con 30 nodi

Appare evidente una maggior accuratezza nei risultati utilizzando le differenze centrali (approssimazione del secondo ordine) che risulta notevolmente accurata anche con 5 nodi.Alla fine vengono anche calcolati gli errori assoluti e relatividella soluzione numerica:

$E_{ass}=T_{ana}-T_{n um}$

$E_{rel}={E_{ass}}/{T_{ana}}*100$

dove $T_{ana}$ rappresenta la temperatura analitica e $T_{n um}$ la temperatura numerica, se ne riporta un esempio per una griglia di calcolo di 30 nodi.

errore sfera relativo con 30 nodierrore assoluto con 30 nodi

Dall'esamina dei risultati appare evidente che per ottenere una totale indipendenza dei risultati dalla griglia di calcolo siano necessari 30 nodi per l'approssimazione del secondo ordine e 250 nodi per quella al primo ordine di cui si riporta il grafico.

soluzione sfera con 250 nodi

Qui per vedere la relazione completa del progetto.

Valerio Rossi

Valerio RossiSono Valerio Rossi e sono l'Amministratore di MeccanicaWeb.it

Sono laureato triennale con voto 110 e lode in ingegneria meccanica presso l'Università di Roma Tor Vergata e sono attualmente studente in ingegneria meccanica magistrale. La mia tesi di laurea triennale è visibile su MeccanicaWeb.it Monitoraggio del comfort vibrazionale secondo la ISO 2631: progetto e realizzazione di un dispositivo low cost con impostazione e validazione di un modello predittivo.

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