Analisi alle differenze finite di una sfera cava con generazione di calore

Analisi alle differenze finite di una sfera cava con generazione interna di calore tramite una discretizzazione delle equazioni che regolano il fenomeno fisico.

Il problema è analogo a quello di un cilindro con generazione di calore interna da cui differisce solamente per il diverso dominio fisico del corpo in esame. L’equazione di Fourier sulla conduzione:

(1) $\begin{equation*}\nabla^2 T+\frac{q_g}{k}=\frac{1}{\alpha} \frac{ \partial T}{\partial t}\end{equation*}$

che viene poi semplificata attraverso le solite ipotesi:

condizioni stazionarie;
problema monodimensionale;
temperatura esterna costante;
proprietà termofisiche del problema costanti.

L’equazione espressa in coordinate cilindriche e semplificata con le precedenti ipotesi diventa:

(2) $\begin{equation*}\frac{\partial}{\partial r^2} (r^2 \frac{\partial T}{ \partial r})= -q_g/k r\end{equation*}$

Si considera una generazione interna di calore $q_g=5 10^6 W/m^3$ , un coefficiente di scambio convettivo sulla superficie esterna $h=500 W/{m^2 K}$ , una conducibilità termica $k=40 W/{m^K}$ , una temperatura esterna $T_\infty=0 ^\circC$ , una temperatura sulla superficie interna della sfera $T_i=100 ^\circ C$ , un raggio interno della sfera $R_i=2 cm$ ed un raggio esterno $R_e=7 cm$ . Risolvendo l’equazione differenziale si ottiene:

(3) $\begin{equation*}T(r)=-\frac{q_g}/{6k}r^2-\frac{c_1}{r} +c_2\end{equation*}$

dove $c_1$ e $c_2$ si determinano imponendo le condizioni al contorno. Per la soluzione numerica invece si procede utilizzando il metodo delle differenze centrali:

(4) $\begin{equation*}(1+\frac{1}{R_i/\Delta r+i})T_{i+1} - 2T_i +(1-\frac{1}{R_i/{\Delta r}+i})T_{i-1}=-q_g/k \Delta r^2\end{equation*}$

Le condizioni al contorno per la superficie interna sono di tipo Dirichelt e quindi esatte. Le condizioni convettive esterne vengono calcolate con un’approssimazione sia del primo che del secondo ordine per permettere un confronto delle due soluzioni. Il programma sviluppato Fortran genera una griglia di calcolo, suddividendo il dominio fisico in tanti nodi. Successivamente crea una sistema di equazioni che viene poi risolto tramite un algoritmo di Gauss lineare. Tramite un programma di post-processing in Matlab, vengono generati i grafici della temperatura analitica, quella numerica con un’approssimazione del primo e del secondo ordine. Nei grafici di seguito si riportano i risultati per una griglia di calcolo di 5 nodi.

Errore assoluto e relativo

Utilizzando le differenze centrali (approssimazione del secondo ordine) la soluzione risulta accurata anche con 5 nodi. Alla fine vengono anche calcolati gli errori assoluti e relativi della soluzione numerica:

(5) $\begin{equation*}E_{ass}=T_{ana}-T_{n um}\end{equation*}$

(6) $\begin{equation*}E_{rel}=\frac{E_{ass}}{T_{ana}}100\end{equation*}$

dove $T_{ana}$ rappresenta la temperatura analitica e $T_{n um}$ la temperatura numerica. Di seguito se ne riporta un esempio per una griglia di calcolo di 30 nodi.

Per ottenere una totale indipendenza dei risultati dalla griglia di calcolo siano necessari 30 nodi per l’approssimazione del secondo ordine e 250 nodi per quella al primo ordine.

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