Analisi alle differenze finite di un'aletta di raffreddamento

Calcolo numerico di un'aletta di raffreddamento cilindrica tramite le differenze finite e confronto con la soluzione analitica.

dissipatore di calore

L'equazione che regola il fenomeno fisico è quella del problema dell'aletta considerando l'aletta stessa isolata all'estremità:

$-k*A*((dT)/(dx))_x=h*p*(T-T_e)-k*A*((dT)/(dx))_(x+dx)$

Utilizzando le seguenti ipotesi:

  • condizioni stazionarie;
  • problema monodimensionale;
  • temperatura esterna costante;
  • sezione dell'aletta cilindrica e costante;
  • proprietà termofisiche costanti.

Sotto queste ipotesi è possibile trasformare l'equazione:

$(d^2theta)/(dx^2)-m^2*theta=0$

dove $m^2=(h*p)/(k*S)$, il coefficiente di scambio convettivo $h=500 W/{m^2K}$, la conducibilità termica $k=40 W/{mk}$, la temperatura esterna $T_\infty=20°C$, la temperatura della superficie da raffreddare $T=200°C$, il raggio dell'aletta $r=5 mm$ e la lunghezza dell'aletta $L=5 cm$. La soluzione analitica si trova integrando l'equazione differenziale che regola il problema e si ottiene:

$theta=theta_0*(cosh(m*(x-L)))/(cosh(m*L)$

dove $theta=T-T_\infty$. Per la soluzione analitica invece si è discretizzata l'equazione in $theta$ alle differenze centrali ottenendo:
${theta_{i+1}-2theta_{i}+theta_{i-1}}/{\Delta x^2}=m^2*theta_{i}$
che ordinata può essere ricondotta ad un sistema lineare e scritto in termini matriciali:
$theta_{i+1}+theta_{i}*(-2-m^2*\Delta x^2)+theta_{i-1}=0$
$[A]*{theta}={B}$

Le codizioni al contorno per x=0 sono di tipo Dirichelet avendo imposto la temperatura della superficie da raffreddare, mentre per x=L sono state utilizzate delle approssimazioni al primo ed al secondo ordine permettendo cosi un confronto numerico. E' stato quindi ideato un programma in codice Fortran in grado di calcolare la soluzione analitica e la soluzione numerica. Il programma quindi dopo aver creato una griglia di calcolo, suddividendo il dominio fisico in tanti nodi, crea una sistema di equazioni che sarà poi risolto da una subroutine contenente un algoritmo di Gauss per la risoluzione di sistemi lineari. Sotto sono visibili i risultati per una griglia di 5 nodi (a sinistra) e per una griglia di 30 nodi (a destra).

soluzione numerica con 5 nodisoluzione numerica con 30 nodi

Alla fine vengono anche calcolati gli errori assoluti e relativi della soluzione numerica:

$E_{ass}=T_{ana}-T_{n um}$

$E_{rel}={E_{ass}}/{T_{ana}}*100$

dove $T_{ana}$ rappresenta la temperatura analitica e $T_{n um}$ la temperatura numerica. Di seguito gli errori relativi e assoluti per una griglia di calcolo di 30 nodi.

errore assoluto con 30 nodierrore relativo con 30 nodi

Il post-processing dei risultati è stato eseguito tramite il software Matlab permettendo tramite dei plot grafici il confronto dei vari risultati e mostrando una indipendenza dalla griglia di calcolo per valori di circa 30 nodi; ciò segnifica che oltre i 30 nodi l'accuratezza della soluzione numerica risulta indipendente dal numero di nodi.

Qui per vedere la relazione completa del progetto.

Valerio Rossi

Valerio RossiSono Valerio Rossi e sono l'Amministratore di MeccanicaWeb.it

Sono laureato triennale con voto 110 e lode in ingegneria meccanica presso l'Università di Roma Tor Vergata e sono attualmente studente in ingegneria meccanica magistrale. La mia tesi di laurea triennale è visibile su MeccanicaWeb.it Monitoraggio del comfort vibrazionale secondo la ISO 2631: progetto e realizzazione di un dispositivo low cost con impostazione e validazione di un modello predittivo.

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