Calcolo numerico alle differenze finite di un’aletta di raffreddamento cilindrica tramite le differenze finite e confronto con la soluzione analitica. L’equazione che regola il fenomeno fisico è quella del problema dell’aletta considerando l’aletta stessa isolata all’estremità:
(1)
Utilizzando le seguenti ipotesi:
- condizioni stazionarie;
- problema monodimensionale;
- temperatura esterna costante;
- sezione dell’aletta cilindrica e costante;
- proprietà termofisiche costanti.
Sotto queste ipotesi è possibile trasformare l’equazione:
(2)
dove , il coefficiente di scambio convettivo , la conducibilità termica , la temperatura esterna , la temperatura della superficie da raffreddare , il raggio dell’aletta e la lunghezza dell’aletta . La soluzione analitica si trova integrando l’equazione differenziale che regola il problema e si ottiene:
(3)
(4)
(5)
(6)
Le condizioni al contorno per x=0 sono di tipo Dirichelet avendo imposto la temperatura della superficie da raffreddare. Per x=L sono state utilizzate delle approssimazioni al primo ed al secondo ordine permettendo cosi un confronto numerico. E’ stato quindi creato un programma in codice Fortran in grado di calcolare la soluzione analitica e la soluzione numerica. Il codice genera una griglia di calcolo, suddividendo il dominio fisico in tanti nodi. Successivamente crea una sistema di equazioni che sarà poi risolto da un algoritmo di Gauss. Sotto sono visibili i risultati per una griglia di 30 nodi.
Errore assoluti e relativi
Vengono anche calcolati gli errori assoluti e relativi della soluzione numerica:
(7)
(8)
dove rappresenta la temperatura analitica e la temperatura numerica.
Il post-processing della simulazione alle differenze finite di un’aletta di raffreddamento è stato eseguito tramite Matlab. Tramite dei plot grafici i vari risultati sono stati confrontati mostrando una indipendenza dalla griglia di calcolo per più 30 nodi. Oltre 30 nodi l’accuratezza della soluzione numerica risulta indipendente dal numero di nodi.
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