Oscillatore armonico e forza peso

Categoria: Meccanica. Scritto da Valerio Rossi Mercoledì, 01 Febbraio 2012

Analizziamo un oscillatore armonico non smorzato su cui agisce anche la forza peso.

Assumiamo un sistema di riferimento inerziale con l'asse delle x positivo verso il basso e scalarizziamo le forze agenti sulla massa:

$m\ddot x +kx=mg$

L'equazione differenziale di secondo ordine non è omogenea ma ha anche un termine noto. La soluzione dell'equazione omogenea associata l'abbiamo gia trovata nell'analisi di un oscillatore armonico non smorzato, a questa soluzione dobbiamo aggiungere la soluzione particolare:

$x(t)=x_o+x_p=A*cos(\omega t +\phi)+x_p$

Siccome il termine noto è costante assumiamo una soluzione costante $x_p=B$:

$\omega^2 B=mg$ e quindi $B=mg/{\omega^2}$

Imponendo delle condizioni iniziali possiamo trovare la costante A incognita:

$x(t)=mg/{\omega^2}+A*cos(\omega t +\phi)$

Come si vede dall'equazione lo spostamento verticale è costituito da un termine oscillatorio e da un termine costante dovuto al contributo della forza peso. La posizione di equilibrio è quindi spostata verso il basso rispetto alla posizione di equilibrio di un semplice sistema massa molla senza forza peso.