Oscillatore armonico non smorzato

Categoria: Meccanica. Scritto da Valerio Rossi Martedì, 31 Gennaio 2012

Un sistema meccanico ad 1 grado di libertà con una rigidezza finita e senza la presenza di smorzamento lo possiamo studiare come un oscillatore meccanico composto da una massa e una molla di rigidezza k.

Studiamo il semplice sistema pensando applicata alla massa solo la forza elastica della molla e scalarizziamo lungo l'asse delle x orizzontale:

$m\ddot x+kx=0$

Tale equazione rappresenta un'equazione differenziale di secondo ordine omogena che possiamo scrivere in forma più compatta come:

$\ddot x+\omega^2 x=0$

dove $\omega^2=k/m$. Assumendo una soluzione esponenziale del tipo $x(t)=A*e^(\lambda t)$ e andando a studiare l'autovalore $\lamda$:

$\lambda^2=-\omega^2$

L'autovalore è pari quindi alla frequenza naturale del sistema ed è un numero immaginario, infatti $\lambda=i*\omega$. La soluzione allora è possibile esprimerla in forma esponenziale e, grazie alla trasformazione di Eulero, anche in forma sinusoidale:

$x(t)=A*e^(i\omega t)=A*cos(\omega t+\phi)$

con $\phi$ la fase iniziale. Basterà ora imporre le condizioni iniziali per trovare il valore della costante iniziale.